线性代数知识点-白红宇

线性代数知识点

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发布时间：2019-06-23

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一个矩阵的行列式就是一个多面体的体积，这个多面体的边对应矩阵的行

二维的情况下，就张成一个平行四边形

性質一： $f(I)=f\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=1$ ，其中 $I$ 是單位矩陣。

性質二：若 $A$ 有相同的兩列 (row)[4]，則 $f(A)=0$

两个向量重合，四边形面积为0

性質三： $f(kA)=k^nf(A)$

性質四：交換 $A$ 的兩列改變 $f(A)$ 的正負號

性質五：若 $A$ 包含一零列，則 $\det A=0$

性質六：列取代運算，即任一列乘以常數 $k$ 再加進另一列，不改變行列式

性質七：若 $A$ 為三角矩陣， $\det A$ 等於主對角元乘積

性質八：若 $A$ 是一個可逆矩陣，則 $\det A\neq 0$ ；若 $A$ 是不可逆的，則 $\det A=0$

對矩陣 $A$ 執行基本列運算，將 $A$ 化簡為上三角矩陣 $U=[u_{ij}]$ ，性質四指出列交換運算改變行列式正負號，性質六則說明列取代運算不改變行列式，

因此 $\det A=\pm\det U$ 。再由性質七， $\det U=u_{11}\cdots u_{nn}$ ，推論當 $A$ 是可逆時，所有 $u_{ii}$ 全不為零，故 $\det A\neq 0$ ；

當 $A$ 不可逆時， $U$ 必有一零列，即至少有一 $u_{ii}=0$ ，則 $\det A=0$ 。

性質九： $\det(AB)=(\det A)(\det B)$

性質十： $\det A^T=\det A$

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